Géométrie

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Les philosophes de la grèce Antique, dont Euclide, ont défini la géométrie comme la science mathématique des figures dans le plan et des volumes (les corps, au sens classique) dans l’espace.

Cet article est principalement consacré à la géométrie ainsi entendue. Mais il expose au préalable, par souci de complétude, une autre définition, plus générale, moins précise, mais plus proche de l’usage de cette notion dans les mathématiques et les sciences contemporaines.

Sommaire

1 La géométrie comme science des positions
2 Origine probable de la géométrie
3 Le prestige de la géométrie
4 Qu’est-ce qu’une figure géométrique ?
5 La vérité de la géométrie euclidienne
6 Fable sur la naissance de la géométrie
7 La géométrie et le développement des projets
8 Voir aussi

La géométrie comme science des positions

Les progrès des connaissances ont rendu la définition classique beaucoup trop restrictive. On peut parler de la géométrie de l’espace-temps et de nombreux espaces abstraits. La distinction entre ce qui est et n’est pas géométrique est alors délicate. Toute structure, tout modèle, tout univers possible, peut être étudié, d’une façon géométrique. On peut alors définir la géométrie comme la science des positions.

Cette définition est moins précise que la précédente parce que la notion de position est d’abord intuitive, position dans l’espace, dans le temps, dans un réseau, … On peut parler de positions dès qu’il y a des relations de position ou un ordre de positions. Comment divers êtres sont-ils placés les uns par rapport aux autres ?

En ce sens général, la géométrie n’est pas restreinte à l’étude des figures spatiales. On peut développer une géométrie des positions sociales (Pierre Bourdieu, La distinction). On peut aussi parler de géométrie à propos de tout système d’êtres mathématiques, dès qu’il y a du sens à parler de leurs positions relatives.

La suite de cet article revient à la première définition de la géométrie, qui est un cas particulier de la seconde. Il s’agit d’étudier les positions statiques des corps rigides dans l’espace, notre espace physique à la fois large, long, et profond. La science générale des positions des corps, c’est au fond la science du mouvement, ou la science de la matière, c’est donc toute la physique. Se limiter aux positions statiques des corps rigides a une grande importance pratique et permet dans un premier temps d’ignorer les complications d’une théorie du temps.

Origine probable de la géométrie

On place souvent ses débuts telle qu'on la connaît dans la Grèce antique, où la parcellisation des terres conduisait à faire de savants calculs sur les surfaces cultivées et partagées. Il s’agissait donc de topographie. Les outils de base des constructions géométriques étaient (et sont restés) la règle et le compas (qui n'étaient parfois tous les deux qu'une simple corde servant à tirer des droites, à tracer des cercles et à reporter des distances). (voir Construction à la règle et au compas)

Le prestige de la géométrie

La géométrie est très importante dans l'histoire des mathématiques et de la pensée philosophique, car elle est la première théorie axiomatique digne de ce nom. Euclide a réuni l’ensemble des connaissances géométriques de son temps d’un telle façon qu’elles soient toutes ou bien des vérités premières, des axiomes, ou bien des théorèmes, prouvés à partir des axiomes. Cette méthode axiomatique a un immense prestige aux yeux des scientifiques et des philosophes en tant qu’idéal de perfection du raisonnement. Pour désigner la logique, Pascal disait “l’esprit de géométrie”.

Qu’est-ce qu’une figure géométrique ?

Les Eléments d’Euclide sont consacrés aux lignes droites, aux cercles, aux triangles, aux figures planes que l’on peut construire à partir des précédentes, aux figures spatiales que l’on peut limiter par ces figures planes, et à quelques autres que l’on peut définir à partir des droites et des cercles (sphères, …) Les figures peuvent ainsi être dessinées ou construites principalement à la règle et au compas.

La définition moderne d'une figure est très différente de celle d’Euclide. Sous sa forme la plus tolérante elle dit que n’importe quel ensemble de points est une figure. Au point de vue mathématique, cela ouvre un immense espace de possibilités mais cela pose quelques difficultés au point de vue physique : du fait des propriétés étonnantes des espaces continus (une région finie contient un ensemble infini de points, …), certaines figures mathématiques (les lignes continues non différentiables, …) peuvent avoir des propriétés qui n’ont pas de sens physique, qui ne peuvent pas être confrontées à l’expérience, parce que celle-ci ne livre jamais qu’une somme finie d’informations.

La vérité de la géométrie euclidienne

En liaison avec la physique, la géométrie permet de faire des calculs théoriques et donc de prédire des événements, du type « jusqu'à quelle pression mon réservoir va-t-il résister » ; on peut donc réduire le nombre d'essais concrets, d'expériences (on ne va construire qu'un seul réservoir et le tester, plutôt que de procéder par tâtonnement en essayant plusieurs types de réservoirs). Elle a en fait permis la naissance de la mécanique, c'est-à-dire de l'étude des mouvements des objets (trajectoire, vitesse) et de leur déformation (notamment résistance des matériaux et répartition des forces dans un assemblage).

La géométrie peut être considérée comme une théorie physique. Il s’agit principalement des positions observables de corps rigides. Cette interprétation expérimentale des vérités géométriques pose quelques difficultés techniques, parce que les lignes droites sont infiniment longues et fines, et qu’elles ne peuvent donc pas être observées. Mais la définition d’une ligne droite à partir de l’ensemble des positions possibles d’un corps rigide et la notion technique de précision de la mesure donnent un sens expérimental univoque aux théorèmes géométriques. Des expériences, avec une feuille de papier et un compas par exemple, peuvent alors prouver que certains théorèmes sont vrais. Il faut seulement faire attention aux effets de la dilatation thermique. Mais ces vérités expérimentales ne sont pas des vérités au sens mathématique, parce qu’elles pourraient être fausses dans un autre univers, ou si les lois de notre univers changeaient, ou même dans notre univers avec les mêmes lois si les procédures expérimentales étaient modifiées. De ce point de vue, les théorèmes géométriques sont seulement des vérités hypothétiques. Certains axiomes sont évidents mais cela veut seulement dire qu’ils sont en accord avec les expériences quotidiennes sur les corps rigides.

Du fait des limites de la précision de la mesure, on peut trouver des théorèmes vrais au sens expérimental, c’est-à-dire qu’ils sont en accord avec les observations, mais faux au sens mathématique. Mais dans ce cas, des exprériences plus précises pourraient en montrer la fausseté.

La vérité au sens expérimental, cela veut dire ici qu’il y a un monde réel, qu’il contient des corps rigides, et qu’une phrase est vraie si et seulement si les corps rigides sont réellement comme elle le dit.

La géométrie peut aussi être considérée comme une théorie sur des êtres abstraits, idéaux, mathématiques. Alors sa vérité ne dépend plus des expériences. Un théorème est vrai lorsque les êtres abstraits sont idéalement comme il le dit. On peut alors définir la vérité mathématique comme une vérité à propos d’un monde virtuel, idéal, possible. (voir Théorie des modèles et ci-dessous, la géométrie et le développement des projets).

Fable sur la naissance de la géométrie

Nous allons imaginer ci-après ce qu'a pu être le cheminement qui amena à l'élaboration de la géométrie, et notamment à la rédaction des Éléments par Euclide ; il ne s'agit pas là d'une reconstitution historique, mais plutôt d'un fable destinée à illustrer la naissance du concept de géométrie et la notion d'abstraction.

Dans l'antiquité, les mathématiques correspondaient à des besoins très concrets du type : « quelles doivent être les dimensions de mon silo pour que je puisse stocker tout mon grain ? » (1) Les calculs faits sur des objets concrets (ici, les silos et les grains) ne faisaient intervenir que certaines caractéristiques (longueurs, aires, volumes) et n'avaient pas besoin des autres caractéristiques (comme le matériau de construction, l'épaisseur des parois, la masse). Par le processus d'abstraction, les scientifiques (que l'on appelait plus volontiers philosophes à l'époque) ont construit des objets définis uniquement par ces grandeurs ; ces objets abstraits n'ayant pas de constitution matérielle, ils pouvaient être représentés par des dessins sur une surface.

On a donc une distinction entre le dessin d'art, qui avait à l'époque une connotation religieuse et magique et servait aussi à l'éducation et à la conservation de la mémoire, et le dessin géométrique qui n'est qu'un support visuel, une aide à la réflexion, pour des objets abstraits. (voir Éléments d'histoire des sciences, Michel Serres et coll., éd. Bordas, Paris, 1989)

La géométrie et le développement des projets

La géométrie peut donc être décrite comme étant « du dessin servant faire un modèle simplifié d'objets réels ». Comme tout processus d'abstraction, la géométrie permet de prendre du recul par rapport à la réalité, et à simplifier le problème ; on commence par résoudre tout ce qui est relatif aux dimensions de l'objet réel avant de s'attaquer au reste (comment on va construire l'objet, comment on va l'assembler avec les autres objets).

La géométrie a donc naturellement permis de grands progrès en architecture et en mécanique, avec notamment la naissance du dessin industriel.

Si quelqu'un vous disait de but en blanc « je construis une voiture fictive », vous l'imagineriez, tel Charlot dans les Temps modernes, en train de mimer le vissage des boulons dans le vide, et vous le prendriez sûrement pour un fou.

Or, la notion de projet, ce n'est rien d'autre que cela : travailler sur un objet qui n'existe que dans l'esprit.

Cette notion de projet qui nous paraît évidente en raison de notre culture est en fait une violence faite au « bon sens », qui frise la schizophrénie (le « projeteur » vit dans un monde imaginaire). Le dessin permet de « concrétiser », de « matérialiser » l'imagination et donc de sortir le « projeteur » de sa « folie », de lui redonner contact avec la réalité.

Cet objet fictif est tracé sur papier, et c'est ce dessin, en tant que support de la réflexion, qui permet d'élaborer l'objet avant même d'avoir pris le premier outil ; il permet aussi l'échange des idées et la transmission d'information (passage du bureau d'étude au bureau des méthodes, puis à l'atelier de fabrication).

La géométrie est donc une révolution fondamentale dans la manière de penser qui fait naître la notion de projet (projection dans l'avenir, travail sur un objet qui n'existe pas).

La géométrie, et notamment la trigonométrie, est également à l'origine du développement de la navigation : navigation maritime aux étoiles (avec les sextants), cartographie, navigation aérienne (pilotage aux instruments à partir des signaux des balises).

Récemment, le mariage de la géométrie avec l'informatique a permis l'arrivée de la conception assistée par ordinateur (CAO), des calculs par éléments finis et de l'infographie. Cela permet notamment de répondre à la question : « comment représenter un objet fictif complexe de manière compréhensible pour un humain ».