Entier naturel

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En mathématiques, un entier naturel (aussi appelé nombre naturel) est un nombre entier et positif, comme 0, 1, 2, 3, 4, 5... 12, 512, <math>2 \times 10^3</math>...

Il s'agit donc de nombres qui permettent de compter les objets quand ils sont en quantité discrète ; par exemple, les doigts, les feuilles d'un arbre. Ils ne permettent pas de mesurer des quantités continues comme une longueur, un volume ou une masse.

Certains mathématiciens ne comptent pas zéro comme un entier naturel.

Bien que cette notion paraisse intuitive, leur définition formelle en mathématiques n'a pas été simple à concrétiser. Les axiomes de Peano définissent l'ensemble des entiers naturels, noté N ou <math>\mathbb{N}</math>. On note <math>\mathbb{N}^*</math> l'ensemble des entiers naturels privé de l'élément zéro.

Sommaire

Les entiers naturels, une abstraction des objets réels

Au départ sont les objets, les animaux. On a des fruits, un troupeau ... Ces objets n'ont rien à voir entre eux, mais ils ont pourtant une caractéristique commune : dans un panier, les tomates sont distinctes et à peu près identiques, dans un troupeau, les vaches sont elles aussi distinctes et à peu près identiques.

On a donc inventé des objets qui n'existent que dans l'esprit et qui ont la propriété suivante : ils sont distincts et interchangeables. Ce sont des objets sans aucun support matériel, de purs concepts. On écrira donc « un (1) », « deux (2) », « trois (3) » ... Trois quoi ? Trois de ces objets inventés et sans support matériel, trois « unités ». On écrira V le nombre de vaches et T le nombre de tomates par exemple, ces deux variables sont manipulables mathématiquement, indépendamment des objets qu'elles représentent.

On a donc extrait une propriété qui nous intéressait (la « dénombrabilité »), et on a fabriqué un objet imaginaire qui n'avait que cette propriété ; cet objet est l'« unité ».

Ce processus mental est connu sous le nom d'abstraction, on fait abstraction de la qualité de l'objet pour s'intéresser uniquement à la quantité.

Comme une quantité ne peut être moindre que un, zéro n'est pas un nombre ! heureusement d'ailleurs, sinon, 1 serait le deuxième nombre !

Quelques pistes à propos du zéro


Les chiffres vont de 1 à 9 et permettent d’écrire les nombres. Qu’en est-il du zéro ? Zéro est-il un chiffre ?

Zéro, çifr en arabe, signifie vide. C'est la racine du mot chiffre, elle maintient une vérité fondamentale, l'illusion de tout ce qui est quantifiable. Le zéro métaphysique est le « Non-être » symbolisé par le « vide » dans les traditions orientales. « Avant l'Un, que peux-tu compter ? » demande l'auteur du Sepher Ietsirah. Peut-il y avoir une quantité moindre que zéro ?

« Avancer qu'une quantité négative isolée est moindre que zéro, c'est couvrir la science des mathématiques, qui doit être celle de l'évidence, d'un nuage impénétrable, et s'engager dans un labyrinthe de paradoxes tous plus bizarres les uns que les autres. » (Carnot - Notes sur les quantités négatives)

En effet, zéro « représente purement et simplement l'absence de toute quantité, car une quantité qui serait moindre que rien est proprement inconcevable. » (René Guénon, Les Principes du Calcul infinitésimal – NRF Gallimard, 1946, p. 97) Force est de constater qu'en mathématique la division par zéro n'a pas de sens ; elle est dite impossible A noter que le concept de nombre nul ainsi que la définition de l'infini comme inverse du zéro apparaissent dans la publication du mathématicien et astronome indien Brahmagupta (628). (Voir Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, R. Laffont, 1994, tome II, p. 460).

Leibniz, redécouvrant la nature binaire de la manifestation, remplace le 1 et le 2 par le 0 et le 1 qui sont restés les deux signes utilisés dans le langage des ordinateurs. « Dans son arithmétique binaire, Leibniz voulait voir l'image de la Création. Il imaginait que l'unité représentait Dieu et zéro le néant ; que l'Etre Suprême avait tiré tous les êtres du néant ; de même que l'unité et le zéro expriment tous les nombres dans son système de numération. » (Laplace - Exposition du Système du Monde - Livre V, chap. VI) Ce point de vue amène cette remarque de René Guénon : « Les mathématiciens ayant (...) le tort de regarder le zéro comme une sorte de symbole du néant, comme si le néant pouvait être symbolisé par quoi que ce soit, il semble résulter de là que l'équilibre est l'état de non-existence, ce qui est une conséquence assez singulière » (Les Principes du Calcul infinitésimal - Op. cit., p. 106).

Les mathématiques n'ont pas cessé pourtant d’abandonner toute base métaphysique. Pascal serait très étonné de nos soi-disant certitudes. Pour lui, il était évident que zéro représentait le rien. N'a-t-il pas écrit : « J'en sais qui ne peuvent comprendre que qui de zéro ôte quatre reste zéro » ? (Pensées - Hachette, 1973, p. 30) Depuis, le résultat de cette opération est devenu (-4). Les nombres négatifs sont bien une « création » de l'homme au sens où l'entend Guénon.

Qu'en est-il actuellement ? Un mathématicien contemporain écrit, à la page zéro de son livre : « Dans le langage courant, zéro désigne aussi bien un nombre - le plus petit possible dans un comptage - que le chiffre qui le représente. Introduit initialement comme signe dans la numération de position, son statut de nombre ne fut reconnu que beaucoup plus tard. » (François Le Lionnais, Les nombres remarquables - Paris : Herman, 1983, p. 0). Voilà donc un livre dont la première page est la page 0, la deuxième la page 1...

L'absence de quantité peut-elle faire nombre ? La logique purement mentale a fini par supplanter l'intelligence métaphysique. Avant l'invention du zéro par les Indiens, on laissait en effet, dans l'écriture d'un nombre, un espace pour indiquer l'absence de quantité. Cela était cause de maintes erreurs : « Des tablettes portant des inscriptions cunéiformes prouvent qu'à cette époque, sous le signe du roi Hammourabi, les mathématiciens de Babylone réalisaient d'étonnantes prouesses de calcul. L'usage du zéro leur était inconnu et un espace symbolisait l'absence de chiffre d'un ordre donné ; cependant, cet espace était souvent oublié, d'où une certaine ambiguïté dans les nombres transcrits. » (Bergmani, Les Mathématiques - Life, 1965, p 16).

Al-Khowarizmi écrit : « Nous avons décidé d'exposer la manière de compter des Indiens, à l'aide de IX caractères et de montrer comment, grâce à leur simplicité et leur concision, ces caractères peuvent exprimer tous les nombres. » (Livre de l'addition et de la soustraction d'après le calcul des Indiens) Dans son traité sur les nombres hindous, il a popularisé une sentence qui devint traditionnelle : « Lorsqu'il ne reste rien, faites figurer un petit cercle pour que la place ne demeure pas vide. » L'emploi des dix signes de notre numération est cependant antérieur.

Cependant, la numération décimale basée sur le principe de position et sur l'emploi du signe “zéro” était déjà utilisée par le chimiste Abu Musa Gabir ibn Hayyan, qui vivait vers 776, dans son livre Les Poissons. (Voir Georges Ifrah,- Histoire universelle des chiffres , op. cit).

Dès le début du VIe siècle les mathématiciens indiens Brahmagupta et Bhâskara révélaient dans leurs œuvres une parfaite maîtrise de la numération décimale de position au moyen de neuf chiffres et du zéro dont la découverte remonterait aux IVe-Ve siècles. En Europe, c'est le moine Gerbert, devenu pape sous le nom de Sylvestre II, qui introduisit le zéro dans la numération au Xe siècle.

On a peine à imaginer ce que fut l'apport des chiffres indiens. En arabe ancien, comme en hébreu et en grec, on ne distinguait pas les chiffres des lettres et ceux-ci étaient à l'origine des hiéroglyphes. (Voir A. Youschkevitch, Les Mathématiques arabes : XIIe-XIVe s., Paris : A. Vrin, 1976, tome I, p. 165). Ainsi le radical hébreu yd se retrouve aussi bien dans y(o)d, dixième lettre de l'alphabet signifiant « dix », que dans y(a)d signifant « main ».

L'emploi du zéro était connu des Mayas qui le représentait par la coquille, liée à la mort, ou par l'escargot. (Voir Girard Raphaël, Le Polpol-Vuh : histoire culturelle des Mayas-Quichés - Paris, 1954, p. 42).

Zéro, chez les Babyloniens, « ne fut jamais conçu comme un nombre : synonyme de “vide” seulement, il ne correspondit jamais au sens de la “quantité nulle”. » (Georges Ifrah, Op. cit., tome I, p. 774). Comme les Babyloniens, les Egyptiens laissaient un espace vide pour mettre en évidence le fait qu'il n'y avait rien. Ceci est symboliquement plus juste, mais beaucoup moins pratique et source de multiples erreurs.

Comment représenter le rien par un signe ? La représentation par un petit rond, un cercle, est incorrecte puisque le cercle est engendré à partir du zéro. La ligne droite, courbe ou circulaire, que l'on dit formée de points n'est-elle pas en réalité formée de zéros puisque le point n’a ni longueur, ni largeur, ni épaisseur et n’est donc représentable que par approximation ?

Paradoxalement, le vide est plein : chacun sait que « la Nature a horreur du vide ». Au plan métaphysique, la mort à soi-même est vacuité. « Qui atteint à sa vertu primitive s'identifie avec l'origine de l'Univers et par là avec le vide. » (Chuang-Tzu, ch. Ciel-Terre in François Chang- Vide et Plein. Le langage pictural chinois - Paris : Seuil, 1979). Le vide est plein de tous les possibles. « A l'origine, il y a le Rien (wu) ; 

  Le Rien n'a point de nom. 
  Du Rien est né l'Un ; 
  L'Un n'a point de forme. » (Tao Té King)

Le Un métaphysique n'est pas le un mathématique. Il en est de même pour le zéro : « le Zéro métaphysique n'est qu'un aspect de l'Infini ; du moins il nous est permis de le considérer comme tel en tant qu'il contient en principe l'unité, et par suite tout le reste. En effet, l'unité primordiale n'est que le Zéro affirmé, ou, en d'autres termes, l'Etre universel, qui est cette unité, n'est que le Non-être affirmé...  ». (René Guénon, Les Etats multiples de l'Etre - Véga, Paris, 1980, p. 37-38)

L’abandon, au non de la raison et de la logique cartésienne de toute base métaphysique est-elle un progrès pour l’humanité ? A voir les conséquences, il est permis d’en douter. « Science sans conscience n’est que ruine de l’äme » écrivait Montaigne.

Emploi

Les nombres naturels permettent de compter les éléments d'un ensemble fini.

Propriété

(à faire)

Addition

Une addition consiste à ajouter un entier à un autre entier. Le résultat est appelé la somme.

  • 0 est neutre pour l'addition: le résultat de la somme d'un nombre quelconque et de zéro donne ce même nombre.
a+0=a
5+0=5
13+0=13
4+0=4
  • L'addition est commutative: l'ordre des termes de l'addition de deux termes ne change pas le résultat.
a+b=b+a
5+3=3+5
8+4=4+8
17+2=2+17

Multiplication

Le résultat d'une multiplication est appelé le produit.

  • 1 est neutre pour la multiplication. Le résultat du produit d'un nombre quelconque par 1 donne ce même nombre.
a × 1 = a
5 × 1 = 5
13 × 1 = 13
4 × 1 = 4
  • La multiplication est commutative. L'ordre des termes de la multiplication de deux termes ne change pas le résultat.
a × b = b × a
5 × 3 = 3 × 5
8 × 4 = 4 × 8
17 × 2 = 2 × 17
  • Il y a plusieurs manières de définir la multiplication. Elle peut par exemple, être définie par récurrence comme itération de l'addition en posant :
0×n=0
m×(n+1)=m×n+m

Voir aussi




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