Ellipse (mathématiques)
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Une ellipse est un ovale particulier, c'est la forme qu'on perçoit en regardant un cercle en perspective. Le contour de l'ombre d'un disque sur une surface plane est aussi une ellipse (même dans le cas où on perçoit un cercle, car le cercle est un cas particulier d'ellipse).
Les trajectoires des corps célestes (planètes, comètes ou satellites artificiels) en orbite autour d'une étoile ou d'une autre planète sont des ellipses.
Sommaire |
Définitions géométriques
Section d'un cône
L′ellipse est une courbe plane qui fait partie de la famille des coniques. Elle est obtenue par l'intersection d'un plan avec un cône de révolution lorsque ce plan traverse de part en part le cône. Le cercle est alors un cas particulier de l'ellipse(plan de coupe perpendiculaire).
Directrice et foyer
Image:Ellipse foyer directrice2.png Soient <math>(d)</math> une droite et <math>F</math> un point n'appartenant pas à <math>(d)</math>. On appelle ellipse de droite directrice <math>(d)</math> et de foyer <math>F</math> l'ensemble des points <math>M</math> du plan P (défini comme l'unique plan contenant la droite <math>(d)</math> et le point <math>F</math>) vérifiant :
- <math>\frac{d(M,F)}{d(M,(d))} = e \qquad e \in ]0;1[</math>
où
- <math>d(M,F)\,</math> mesure la distance du point M au point F et <math>d(M,(d)) = d(M,H)\,</math> mesure la distance du point M à la droite (d).
La constante e est appelée excentricité de l'ellipse.
La figure obtenue possède alors un centre de symétrie O et deux axes de symétrie passant par O et respectivement perpendiculaire et parallèle à la directrice (d). On en déduit immédiatement l'existence d'un autre foyer F' et d'une autre directrice (d'). On appelle
- centre de l'ellipse : le point O
- grand axe de l'ellipse : le segment joignant les deux points de l'ellipse situés sur l'axe de symétrie perpendiculaire à (d)
- petit axe de l'ellipse : le segment joignant les deux points de l'ellipse situés sur l'axe de symétrie parallèles à (d)
Traditionnellement, on note
- <math>c\,</math> la distance entre O et F
- <math>a\,</math> la longueur du demi-grand axe
- <math>b\,</math> la longueur du demi-petit axe
- <math>p \,</math> le paramètre de l'ellipse, la distance séparant le foyer et la directrice multipliée par l'excentricité
Les relations liant ces quatres grandeurs et l'excentricité sont détaillées plus loin.
Avec cette définition de l'ellipse, on ne peut plus obtenir de cercle sauf à prendre une excentricité nulle et une directrice "envoyée à l'infini".
Définition bifocale de l'ellipse
Soient F et F' deux points distincts du plan. On appelle ellipse de foyers F et F', l'ensemble des points M du plan vérifiant la propriété suivante :
- <math> d(M,F) + d(M,F') =2a=2\sqrt{c^2+b^2} \qquad a \in\mathbb{R}^*_+,\quad b \in\mathbb{R}^*_+</math>
où <math> 2a\,</math> est la longueur du grand axe, <math>2c=d(F,F')\,</math> , et <math>2b\,</math> est la longueur du petit axe (perpendiculaire au grand axe).
Image:Ellipse Animation Small.gif
Image d'un cercle par une affinité
Image:Ellipse affinite2.png Soient (C1) un cercle de centre O et de rayon <math>a\,</math>, (C2) un cercle de centre O et de rayon <math> b\,</math> (<math> b\,< a </math>) et (<math>xx')\,</math> une droite passant par O. On appelle ellipse de centre O, de demi-grand axe <math>a\,</math> et de demi-petit axe <math>b\,</math> l'image du cercle (C1) par l'affinité d'axe (<math>xx')\,</math>, de direction perpendiculaire à (<math>xx')\,</math> et de rapport <math>b \over a</math>.
Pour construire le point M de l'ellipse, image du point m1 du grand cercle, on construit le point m2 du cercle (C2) situé sur [Om1]. On mène par m1 une perpendiculaire à (xx') et par m2 une parallèle à (xx'). Les droites se coupent en M. En effet, si m' est le projeté orthogonal de m1 sur (<math>xx')\,</math>, on a, d'après le théorème de Thalès,
- <math>{m'M\over m'm1} = {Om2 \over Om1} = {b\over a}</math>
Construction par le cercle directeur
Image:Ellipse cercle directeur2.png Soient F et F' deux point distincts, (C) un cercle de centre F' et de rayon <math>2a\,</math> (<math>2a > FF'\,</math>).
On appelle ellipse de cercle directeur (C) et de foyer F, l'ensemble des centres des cercles tangeants à (C) et passant par F.
Pour construire le point M, centre du cercle tangeant à (C) en m, on trace la médiatrice du segment [Fm], elle rencontre le rayon [F'm] en M.
Propriétés géométriques
Éléments de symétrie
L'"axe focal", aussi appelé "grand axe", passant par le foyer et perpendiculaire à la directrice, est axe de symétrie de l'ellipse; de même pour le petit axe, perpendiculaire au grand axe et passant par le "centre de l'ellipse", milieu de [FF']. L'intersection du grand axe et du petit axe, centre de l'ellipse, est un centre de symétrie.
Les points d'intersection de l'ellipse avec son grand axe sont appelés "sommets principaux", ceux de l'ellipse avec son petit axe sont dits "secondaires".
Tangente et bissectrice
Soit une ellipse dont les foyers sont F et F′. En un point M de cette ellipse, considérons la bissectrice du secteur angulaire(FMF′). Alors, cette bissectrice est perpendiculaire à la tangente en M.
Cette propriété est utilisée en optique géométrique dans les miroirs elliptiques : un rayon lumineux qui passe par un des foyer, lorsqu'il est réfléchi, passe par l'autre foyer. Ainsi, si l'on met une ampoule à un foyer d'un miroir elliptique, le faisceau lumineux se concentre sur l'autre foyer.
Ceci explique également le fait que les sons se propagent très bien d'un quai à l'autre du métro parisien. En effet, la plupart des stations ont une forme elliptique. Si la source d'un son se trouve à un des foyers, tous les sons réfléchis vont converger vers l'autre foyer (sur l'autre quai). Cette propriété possédée par l'ellipse est aussi appelée « propriété de réflexivité » et s'explique en se servant de la tangente en un point de l'ellipse: de cette façon, un son ou un rayon lumineux émis d'un des foyers sera réfléchi sur l'autre foyer. Cette propriété est exploitée dans la conception de certains instruments d'optique. Elle est évidemment présente dans une galerie à écho, c'est-à-dire dans une pièce dont le plafond, par sa forme elliptique, fait qu'une personne qui chuchote en l'un des foyers est entendue en l'autre foyer. La rotonde du Capital Building à Washington et le tabernacle des Mormons à Salt Lake City sont des exemples de cette sorte de galerie. (Extrait du livre d'Analyse 5e édition, de SWOKOWSKI, traduit de l'anglais par Micheline Citta).
Rapport entre les grandeurs
Si l'ellipse est définie par son excentricité <math>e\,</math> et la distance <math>h\,</math> entre le foyer et la directrice, alors
- <math>p = eh\,</math> où <math>p\,</math> est le paramètre de l'ellipse.
- <math>a = {p \over 1-e^2}</math> où <math>a\,</math> est la longueur du demi-grand axe.
- <math>b = {p \over \sqrt{1-e^2}}</math> où <math>b\,</math> est la longueur du demi-petit axe.
- <math>c = ae = {ep\over 1 - e^2} </math> où <math>c\,</math> est la distance entre le foyer et le centre.
Si l'ellipse est donnée par ses demi-axes <math>a\,</math> et <math>b\,</math>
- <math>c = \sqrt{a^2-b^2}</math> où <math>c\,</math> est la distance entre le foyer et le centre.
- <math> e = {c\over a}</math> où <math> e\, </math> est l'excentricité.
- <math> p = {b^2\over a}</math> où <math> p\, </math> est le paramètre de l'ellipse.
- <math> h = {p\over e}={b^2\over c}</math> où <math> h\, </math> est la distance entre le foyer et la directrice.
Équations caractéristiques
Équation cartésienne
- <math>[1] \qquad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>
dans le repère défini par le grand axe et le petit axe
Paramétrisation
- <math>[2] \qquad \left\{
\begin{matrix} \begin{matrix} x & = & a\cos t \\ y & = & b\sin t \end{matrix} \\ t \in [0,2\pi[ \end{matrix} \right.</math> dans le repère défini par le grand axe et le petit axe.
Équation polaire
- <math>[3a] \qquad r = \frac{p}{1+e \cos \theta} \qquad \theta \in [0,2\pi[</math>
dans le repère défini par le foyer et l'axe focal.
ou
- <math>[3b] \qquad r^2 = \frac{b^2}{1-e^2 \cos ^2 \theta} \qquad \theta \in [0,2\pi[</math>
dans le repère défini par le centre et l'axe focal.
Circonférence
La circonférence d'une ellipse est 4aE(e), ou E est une intégrale elliptique complète de deuxième espèce.
La série est :
- <math>c = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2e^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} - \dots}\right]\!\,</math>
Une bonne approximation est donnée par une formule de Ramanujan :
- <math>c \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,</math>
qui peut aussi s'écrire :
- <math>c \approx \pi a \left[ 3 (1+\sqrt{1-e^2}) - \sqrt{(3+ \sqrt{1-e^2})(1+3 \sqrt{1-e^2})} \right] \!\,</math>
ou a est la demi-longueur du grand axe et b la demi-longueur du petit axe.
Plus généralement, la longueur de l'arc, comme une fonction de l'angle sous-tendu, est donnée par une intégrale elliptique incomplète de seconde espèce. La fonction réciproque, l'angle sous-tendu comme une fonction de la longueur de l'arc, est donnée par les fonctions elliptiques.
Tracer une ellipse
- Méthode des deux points et de la corde : selon la propriété [2], la somme AF + AF′ des distances entre un point A de l'ellipse et ses deux foyers F et F′ est constante. Ainsi, on plante deux piquets dans le sol (les deux foyers), on prend une corde non élastique de longueur donnée (la somme constante) que l'on attache aux piquets; le trajet que l'on parcourt en maintenant la corde tendue est une ellipse. On nomme cette technique celle de « l'ellipse du jardinier ».
Image:Ellipse corde tendue.png
Tracé d'une ellipse à l'aide de deux piquets et d'une corde non élastique tendue
- En dessin industriel, une ellipse est en général un cercle vu en perspective (une pièce est rarement elliptique même si ce n'est pas exclu), ou bien un perçage en biais par rapport à la surface de la pièce. L'ellipse se représente donc avec les même traits d'axe que pour le cercle. Dans le cas d'un cercle vu en perspective, ces traits d'axe sont inclinés et suivent les directions de référence. Dans le cas d'une forme réellement elliptique, les traits d'axes sont perpendiculaires.
Image:Ellipse dessin indus.png
Ellipse servant à représenter un perçage droit vu en perspective (figure de droite); le trait d'axe vertical figure l'axe du perçage
Image:Ellipse dessin indus2.png
Ellipse servant à représenter un perçage oblique vu de face (figure de droite)
- Tracé à main levée, méthode du parallélogramme exinscrit : on a vu ci-dessus qu'une ellipse pouvait être considérée comme un cercle vu en perspective. De même qu'un cercle est inscrit dans un carré, une ellipse est inscrite dans un parallélogramme qui n'est autre que ce carré vu en perspective cavalière (notez qu'il existe une infinité de parallélogrammes exinscrits, il suffit d'en choisir un). On trace d'abord un parallélogramme, on le divise en quatre quartiers selon les parallèles aux côtés passant par les milieux des autres côtés; dans chaque quartier, on trace un arc passant par les milieux des côtés et tangent aux côtés en ces milieux.
Image:Ellipse main nue.png
Tracé d'une ellipse à main levée à l'aide d'un parallélogramme
Autre acception
Voir l'article Ellipse.
