Cercle

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Le terme de cercle a plusieurs sens dérivés de son sens géométrique initial.

Dans son sens premier, le cercle est le « rond ». Pour la plupart des gens, de nombreuses formes plus ou moins régulières sont représentées par un cercle : une roue, la circonférence d'un arbre, le tour de la Terre (bien que celle-ci soit aplatie aux pôles), les orbites des satellites autour de la Terre, des planètes autour du Soleil (bien que ces orbites soient en fait des ellipses)...

Sommaire 1 Géométrie 1.1 Définitions 1.2 Propriétés géométriques du cercle 1.2.1 Mesures 1.2.2 Tangente 1.2.3 Médiatrice 1.2.4 Cercle et triangle rectangle 1.2.5 Angle inscrit, angle au centre 1.2.6 Puissance d'un point par rapport à un cercle 1.3 Équations 1.4 Conique 1.5 Voir aussi 2 Société 3 Expression 4 Cercle vicieux, cercle vertueux

Géométrie

Un cercle est une figure géométrique plane, constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est le rayon du cercle. La surface délimitée par un cercle est un disque.

Dans un espace euclidien, il s'agit du rond que tout le monde associe au terme de cercle. Dans un espace non euclidien ou dans le cas de la définition d'une distance non euclidienne, la forme peut être plus complexe. Nous nous placerons pour la suite dans le cas d'un espace euclidien.

Image:Cercle.png
Cercle de centre C et de rayon r dans un plan muni d'un repère orthonormé

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, le cercle trigonométrique est le cercle dont le centre est l'origine des axes du repère, et dont le rayon vaut 1. Ce cercle est appelé cercle unité.

Image:Cercle trigo.png
Cercle trigonométrique : centré sur l'origine du repère et de rayon 1 ; définition du sinus et du cosinus

En dessin industriel, un cercle est le plus souvent représenté avec son axe horizontal et son axe vertical (en traits d'axe : trait fin composé de tirets longs et courts). Une forme de révolution, pleine ou creuse (cylindre, cône, sphère) et vue selon l'axe de révolution est représentée par un cercle.

Image:Cercle dessin indus.png
Représentation conventionnelle d'un cercle en dessin industriel

Définitions

On appelle corde un segment de droite dont les extrémités se trouvent sur le cercle.

Un arc est une portion de cercle délimitée par deux points.

On appelle rayon un segment de droite joignant le centre du cercle à un point du cercle. La longueur d'un rayon est évidemment le rayon r du cercle.

Un diamètre est une corde passant par le centre ; c'est un segment de droite qui délimite le disque en deux parts de surfaces égales. Le diamètre est composé de deux rayons colinéaires ; sa longueur est 2r.

Image:Cercle definitions.png
Définition d'objets géométriques liés au cercle

Propriétés géométriques du cercle

Voici en vrac quelques propriétés géométriques du cercle.

Mesures

• Le périmètre (la circonférence) du cercle vaut 2.π.r.
• L'aire du disque délimité par un cercle de rayon r vaut π.r ² ; si l'on prend une corde de longueur l donnée et que l'on s'en sert pour délimiter une surface fermée, la surface ayant la plus grande aire est délimitée par un cercle. Selon la légende de la fondation de Carthage, le souverain avait permis aux Phéniciens de fonder une ville dont le pourtour était délimité par une peau de vache ; Didon en fit une grande lanière et choisit une forme circulaire pour avoir la plus grande surface.

Tangente

• La tangente en un point du cercle est perpendiculaire au rayon en ce point.

Cette propriété a des applications en optique géométrique : un rayon lumineux passant par le centre d'un miroir sphérique repart en sens inverse selon la même direction (on a une réflexion perpendiculaire au miroir). Si l'on met une ampoule au centre d'un miroir sphérique, la lumière est renvoyée de l'autre côté, ce qui permet par exemple de « rabattre » la lumière vers un miroir parabolique (principe du contre-miroir).

Image:Cercle tangente rayon.png
Tangente perpendiculaire au rayon

Médiatrice

• On peut montrer que la médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle.

Ceci permet de trouver le centre d'un cercle : il suffit de tracer deux cordes non parallèles et de rechercher l'intersection de leurs médiatrices.

Image:Cercle mediatrice corde.png
La médiatrice d'une corde passe par le centre

• On peut aussi montrer que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes et que le point de concours est le centre du cercle passant par les trois sommets, appelé cercle circonscrit au triangle

Cercle et triangle rectangle

• Prenons trois points A, B et C distincts sur le cercle, dont deux — A et C — sont diamétralement opposés (c'est-à-dire sont les intersections du cercle avec un diamètre). Alors, ABC est un triangle rectangle en C.

Ceci découle du fait que la médiane de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse (on a un rayon et un diamètre) ; ceci est une propriété du triangle appelé dans les pays anglo-saxon le théorème de Thalès.

Image:Cercle triangle rectangle inscrit.png
Triangle rectangle inscrit dans un cercle

Angle inscrit, angle au centre

• Prenons deux points distincts A et B du cercle. O est le centre du cercle et C est un autre point du cercle. Alors, on a

<math>\widehat{AOB} = 2 \cdot \widehat{ACB}</math>

Pour l'angle au centre <math>\widehat{AOB}</math>, il faut considérer le secteur angulaire qui intercepte l'arc opposé à l'arc contenant C.

Cette propriété est utilisée dans les appareils d'analyse spectrale par dispersion de longueur d'onde, c'est la notion de cercle de focalisation ou cercle de Rowland.

Image:Cercle angles interceptant arc.png
Illustration de la relation entre les secteurs angulaires interceptant un même arc

Puissance d'un point par rapport à un cercle

Si M est un point et Γ est un cercle de centre O et de rayon R, alors, pour toute droite passant par M et rencontrant le cercle en A et B, on a MA × MB = |OM² - R²|. Cette valeur ne dépend pas de la droite choisie mais seulement de la position de M par rapport au cercle. On peut remarquer que

• si M est à l’extérieur du cercle, MA × MB = OM² - R²
• si M est à l’intérieur du cercle , OM² - R² = - MA × MB . ce produit correspond au produit des mesures algébriques de MA et MB

On appelle alors puissance du point M par rapport au cercle Γ le produit des mesures algébriques de MA et MB. Ce produit est indépendant de la droite choisie et vaut toujours OM² - R².

Cette propriété permet de vérifier que 4 points sont cocycliques : en effet, si ABCD sont 4 points, si (AB) et (BC) se coupent en M et si MA × MB = MC × MD (en mesures algébriques) alors les quatre points sont cocycliques.

Équations

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, l'équation du cercle de centre C (a,b) et de rayon r est :

(x-a) ² + (y-b) ² = r ²

cette équation est en fait une application du théorème de Pythagore pour le triangle rectangle formé par le point du cercle et sa projection sur les deux rayons parallèles aux axes ; l'équation du cercle trigonométrique est donc

x ² + y ² = 1.

Ceci donne l'équation cartésienne du cercle :

<math>y = b \pm \sqrt{r^2 - (x-a)^2}</math>.

L'équation paramétrique du cercle est

x = a + r.cos(θ)

y = b + r.sin(θ)

soit pour le cercle trigonométrique

x = cos(θ)

y = sin(θ)

Conique

Le cercle est une ellipse dont les foyers sont confondus au centre du cercle ; la longueur du grand axe est égale à la longueur du petit axe. C'est une conique dont l'excentricité e vaut 0. Elle peut être obtenue par l'intersection d'un plan avec un cône de révolution lorsque le plan est perpendiculaire à l'axe de révolution du cône (on parle parfois de « section droite » du cône).

Image:Conique cercle.png
Un cercle est une section droite d'un cône

Voir aussi

sphère (3 dimensions).

Société

Un cercle désigne un petit groupe de personnes librement associées et fait généralement référence à :

• une égalité des droits dans le groupe.
• le caractère d'exclusivité de l'appartenence à une telle structure.

On parle parfois de club.

Par exemple, le Cercle des poètes disparus (Dead Poets Society, film de Peter Weir).

Expression

• C'est la quadrature du cercle : se dit d'un problème insoluble, en référence à un problème mathématique classique, dont on a montré en 1882 qu'il n'avait pas de solution.

Cercle vicieux, cercle vertueux

Effet d'accumulation d'un effet négatif ou bénéfique parce que l'effet devient cause à son tour. Par exemple l'expérience montre que plus on « fait la gueule » puis on rencontre des personnes qui font de même. À l'inverse, plus on sourit plus le monde autour de soi est souriant. On dit aussi effet boule de neige, spirale vicieuse ou spirale vertueuse.