Équation différentielle

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En mathématiques, une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées. L'ordre d'une équation différentielle correspond au degré maximal de différentiation auquel une des fonctions inconnues y a été soumise.

Les équations différentielles sont utilisées pour construire des modèles mathématiques de phénomènes physiques, par exemple la dynamique des fluides et la mécanique céleste. Par conséquent, les équations différentielles représentent un vaste champ d'étude, aussi bien en mathématiques pures qu'appliquées.

Soient y une fonction de x et

<math>y', y, \ldots, y^{(n)}\,</math> les dérivées <math>\frac{dy}{dx}, \frac{d^{2}y}{dx^2}, \ldots, \frac{d^{n}y}{dx^n}\,</math> de la fonction y.

Par définition, une équation différentielle ordinaire est une équation liant x, y, y′, y′′,.... L'ordre de cette équation différentielle est l'ordre n de la plus haute dérivée y apparaissant.

Un cas particulier important est celui où x n'apparaît pas dans les équations (en dehors du signe de différentiation). De telles équations sont dites autonomes. Pour ces équations différentielles, l'espace peut être partagé en classes d'équivalence par l'appartenance (ou non) des points à une même solution. Ces équations différentielles sont des champs de vecteurs. Pour une équation du premier ordre, cela signifie que les solutions sont une famille de courbes qui ne se coupent pas (d'après le théorème de Cauchy-Lipschitz) et qui remplissent l'espace. Puisque les lois de la physique ne changent pas dans le temps (pense-t-on), le monde est gouverné par de telles équations différentielles.

Résoudre une équation différentielle revient à trouver les fonctions y vérifiant l'équation. Par exemple, l'équation différentielle

<math>y + y = 0\,</math> a une solution générale :

<math>y = A.\cos x + B. \sin x\,</math> ,

où A, B sont des constantes déterminées grâce aux conditions aux limites. Dans le cas où les équations sont linéaires, la solution peut être trouvée par la méthode de superposition.

Beaucoup d'équations différentielles intéressantes ne sont toutefois pas linéaires, ce qui veut dire qu'elles ne peuvent pas être résolues de cette façon. Il y a également quelques techniques pour résoudre approximativement les équations différentielles en utilisant un ordinateur, notamment la méthode des différences finies ou la méthode des éléments finis qui est plus adaptée pour les E.D.P. et les techniques de relaxation.

Les équations différentielles ordinaires doivent être distinguées des équations aux dérivées partielles, où y est fonction de plusieurs variables et où interviennent des dérivées partielles.